9. Propriétés des paramètres statistiques.

1) n₁ m₁, n₂ m₂ et n₃ m₃ sont les sommes des valeurs observées des groupes I₁, I₂ et I₃. La somme n₁ m₁ + n₂ m₂ + n₃ m₃ est donc la somme de toutes les valeurs observées. D’où la moyenne m = [ n₁ m₁ + n₂ m₂ + n₃ m₃ ] / n.

2) Par définition, la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

s_m² = [n₁ (m₁ – m)² + n₂ ( m₂ – m)² + n₃ (m₃ – m)² ] / n

On la calcule comme la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne :

s_m² = [n₁ m₁² + n₂ m₂² + n₃ m₃² ] /n – m²

3) On a :

		n1
Groupe I1 :	s1^2 =	S	xi^2/ n1 – m1^2
		i=1

		n1+n2
Groupe I2 :	s2^2 =	S	xi^2/ n2 – m2^2
		i=n1+1

		n
Groupe I3 :	s3^2 =	S	xi^2/ n3 – m3^2
		i = n1+n2+1

D’où la somme :

n1 s1^2 + n2 s2^2 + n3 s3^2
	n1		n1+n2		n
=	S	xi^2 – n1 m1^2 +	S	xi^2 – n2m2^2+	S	xi^2 – n3 m3^2
	i=1		i = n1+1		i=n1+n2+1
	n
=	S	xi^2 – n1 m1^2 – n2 m2^2 – n3 m3^2
	i=1

On en déduit :

		n
sm^2 + [ n1 s1^2 + n2 s2^2 + n3 s3^2 ] /n	=	S	xi^2 – m^2	= s^2
		i=1